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图论基础

图的逻辑结构和具体实现

有向无权图

一幅图是由节点和边构成的

  • 根据逻辑结构，可以将图的结点定义为：
/* 图节点的逻辑结构 */
class Vertex {
    int id;
    Vertex[] neighbors;
}
  • 上面的这种实现是「逻辑上的」，实际上我们很少用这个 Vertex 类实现图，而是用常说的邻接表和邻接矩阵来实现。
// 邻接表
// graph[x] 存储 x 的所有邻居节点
List<Integer>[] graph;

// 邻接矩阵
// matrix[x][y] 记录 x 是否有一条指向 y 的边
boolean[][] matrix;

邻接表，好处是占用的空间少，当无法快速判断两个结点是否相邻。

邻接矩阵可以直接判断，效率高。

图论中特有的度（degree）的概念，在无向图中，「度」就是每个节点相连的边的条数。由于有向图的边有方向，所以有向图中每个节点「度」被细分为入度（indegree）和出度（outdegree）

加权有向图 

// 邻接表
// graph[x] 存储 x 的所有邻居节点以及对应的权重
List<int[]>[] graph;

// 邻接矩阵
// matrix[x][y] 记录 x 指向 y 的边的权重，0 表示不相邻
int[][] matrix;

无向图

也很简单，所谓的「无向」，是不是等同于「双向」？如果连接无向图中的节点 x 和 y，把 matrix[x][y] 和 matrix[y][x] 都变成 true 不就行了；邻接表也是类似的操作，在 x 的邻居列表里添加 y，同时在 y 的邻居列表里添加 x。

图的遍历 

// 记录被遍历过的节点
boolean[] visited;
// 记录从起点到当前节点的路径
boolean[] onPath;

/* 图遍历框架 */
void traverse(Graph graph, int s) {
    if (visited[s]) return;
    // 经过节点 s，标记为已遍历
    visited[s] = true;
    // 做选择：标记节点 s 在路径上
    onPath[s] = true;
    for (int neighbor : graph.neighbors(s)) {
        traverse(graph, neighbor);
    }
    // 撤销选择：节点 s 离开路径
    onPath[s] = false;
}

如果图不包含环，则参考多叉树的遍历：

/* 多叉树遍历框架 */
void traverse(TreeNode root) {
    if (root == null) return;

    for (TreeNode child : root.children) {
        traverse(child);
    }
}