回溯算法

解决一个回溯问题，实际上就是一个决策树的遍历过程。

result = []
def backtrack(路径, 选择列表):
    if 满足结束条件:
        result.add(路径)
        return
    
    for 选择 in 选择列表:
        做选择
        backtrack(路径, 选择列表)
        撤销选择

其核心就是 for 循环里面的递归，在递归调用之前「做选择」，在递归调用之后「撤销选择」

一、全排列问题

只要从根遍历这棵树，记录路径上的数字，其实就是所有的全排列。我们不妨把这棵树称为回溯算法的「决策树」。

我们定义的 backtrack 函数其实就像一个指针，在这棵树上游走，同时要正确维护每个节点的属性，每当走到树的底层，其「路径」就是一个全排列。

如何遍历一棵树？各种搜索问题其实都是树的遍历问题，而多叉树的遍历框架就是这样：

void traverse(TreeNode root) {
    for (TreeNode child : root.childern)
        // 前序遍历需要的操作
        traverse(child);
        // 后序遍历需要的操作
}

前序遍历的代码在进入某一个节点之前的那个时间点执行，后序遍历代码在离开某个节点之后的那个时间点执行。

class Solution {
    List<List<Integer>> res = new LinkedList<>();

    public List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
        LinkedList<Integer> track = new LinkedList<>();
        backtrack(nums,track);
        return res;
    }

    public void backtrack(int[] nums,LinkedList<Integer> track){
        if(track.size()==nums.length){
            res.add(new LinkedList(track));
            return;
        }
        for(int num:nums){
            if(!track.contains(num)){
                track.add(num);
                backtrack(nums,track);
                track.removeLast();
            }
        }
    }
}

这个算法解决全排列不是很高效，这也是回溯算法的一个特点，不像动态规划存在重叠子问题可以优化，回溯算法就是纯暴力穷举，复杂度一般都很高。

二、N 皇后问题

class Solution {

    List<List<String>> res = new ArrayList<>();

    // 输入棋盘的边长n，返回所有合法的放置
    public List<List<String>> solveNQueens(int n) {
        // "." 表示空，"Q"表示皇后，初始化棋盘
        char[][] board = new char[n][n];
        for (char[] c : board) {
            Arrays.fill(c, '.');
        }
        backtrack(board, 0);
        return res;
    }

    public void backtrack(char[][] board, int row) {
        // 每一行都成功放置了皇后，记录结果
        if (row == board.length) {
            res.add(charToList(board));  
            return;
        }

        int n = board[row].length;
        // 在当前行的每一列都可能放置皇后
        for (int col = 0; col < n; col++) {
            // 排除可以相互攻击的格子
            if (!isValid(board, row, col)) {
                continue;
            }
            // 做选择
            board[row][col] = 'Q';
            // 进入下一行放皇后
            backtrack(board, row + 1);
            // 撤销选择
            board[row][col] = '.';
        }
    }

    /* 判断是否可以在 board[row][col] 放置皇后 */
    public boolean isValid(char[][] board, int row, int col) {
        int n = board.length;
        // 检查列是否有皇后冲突
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (board[i][col] == 'Q') {
                return false;
            }
        }

        // 检查右上方是否有皇后冲突
        for (int i = row - 1, j = col + 1; i >=0 && j < n; i--, j++) {
            if (board[i][j] == 'Q') {
                return false;
            }
        }

        // 检查左上方是否有皇后冲突
        for (int i = row - 1, j = col - 1; i >= 0 && j >= 0; i--, j--) {
            if (board[i][j] == 'Q') {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

    public List charToList(char[][] board) {
        List<String> list = new ArrayList<>();

        for (char[] c : board) {
            list.add(String.copyValueOf(c));
        }
        return list;
    }

}

回溯算法 #

一、全排列问题 #

二、N 皇后问题 #

回溯算法

一、全排列问题

二、N 皇后问题