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背包问题

01背包

有n件物品和一个最多能背重量为w的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

每一件物品其实只有两个状态，取或者不取，所以可以使用回溯法搜索出所有的情况，那么时间复杂度就是$o(2^n)$，这里的n表示物品数量。

所以暴力的解法是指数级别的时间复杂度。进而才需要动态规划的解法来进行优化！

  1. 确定dp二维数组的含义：dp[i][j]表示从下标为[0-i]的物品中任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
  2. 那么dp[i][j]有两种情况：
    1. 不放物品，那就是dp[i - 1][j]。
    2. 放物品，那就是dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]。
  3. 所以，dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
  4. 初始化dp数组，首先从dp数组定义出发
    1. 如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。
    2. 当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。

代码

滚动数组

把二维dp降为一维dp。

  1. dp数组含义：dp[j]表示，容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。
  2. dp[j]为 容量为j的背包所背的最大价值，那么如何推导dp[j]呢？
    1. dp[j]可以通过dp[j - weight[i]]推导出来，dp[j - weight[i]]表示容量为j - weight[i]的背包所背的最大价值。
    2. dp[j - weight[i]] + value[i] 表示 容量为 j - 物品i重量 的背包 加上 物品i的价值。（也就是容量为j的背包，放入物品i了之后的价值即：dp[j]）
    3. 此时dp[j]有两个选择，一个是取自己dp[j] 相当于 二维dp数组中的dp[i-1][j]，即不放物品i，一个是取dp[j - weight[i]] + value[i]，即放物品i，指定是取最大的，毕竟是求最大价值。
  3. 初始化，dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了。
  4. 遍历顺序：倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次！。但如果一旦正序遍历了，那么物品0就会被重复加入多次！
    1. 举一个例子：物品0的重量weight[0] = 1，价值value[0] = 15；如果正序遍历，dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15；dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 30
    2. 此时dp[2]就已经是30了，意味着物品0，被放入了两次，所以不能正序遍历。
    3. 为什么倒序遍历，就可以保证物品只放入一次呢？
    4. 倒序就是先算dp[2]，dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 15 （dp数组已经都初始化为0）dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15；
    5. 所以从后往前循环，每次取得状态不会和之前取得状态重合，这样每种物品就只取一次了。
    6. 那么问题又来了，为什么二维dp数组历的时候不用倒序呢？
      1. 因为对于二维dp，dp[i][j]都是通过上一层即dp[i - 1][j]计算而来，本层的dp[i][j]并不会被覆盖！

代码

完全背包问题

完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。

518. 零钱兑换 II

给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。

请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。

假设每一种面额的硬币有无限个。

题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。

示例 1：

**输入：**amount = 5, coins = [1, 2, 5] **输出：**4 **解释：**有四种方式可以凑成总金额： 5=5 5=2+2+1 5=2+1+1+1 5=1+1+1+1+1

377. 组合总和 Ⅳ

给你一个由 不同 整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。

题目数据保证答案符合 32 位整数范围。

示例 1：

**输入：**nums = [1,2,3], target = 4 **输出：**7 解释： 所有可能的组合为： (1, 1, 1, 1) (1, 1, 2) (1, 2, 1) (1, 3) (2, 1, 1) (2, 2) (3, 1) 请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。

总结

背包递推公式

问能否能装满背包（或者最多装多少）：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]); ，对应题目如下：

问装满背包有几种方法：dp[j] += dp[j - nums[i]] ，对应题目如下：

问背包装满最大价值：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]); ，对应题目如下：

问装满背包所有物品的最小个数：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]); ，对应题目如下：

#遍历顺序

#01背包

在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！ (opens new window)中我们讲解二维dp数组01背包先遍历物品还是先遍历背包都是可以的，且第二层for循环是从小到大遍历。

和动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组） (opens new window)中，我们讲解一维dp数组01背包只能先遍历物品再遍历背包容量，且第二层for循环是从大到小遍历。

一维dp数组的背包在遍历顺序上和二维dp数组实现的01背包其实是有很大差异的，大家需要注意！

#完全背包

说完01背包，再看看完全背包。

在动态规划：关于完全背包，你该了解这些！ (opens new window)中，讲解了纯完全背包的一维dp数组实现，先遍历物品还是先遍历背包都是可以的，且第二层for循环是从小到大遍历。

但是仅仅是纯完全背包的遍历顺序是这样的，题目稍有变化，两个for循环的先后顺序就不一样了。

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

相关题目如下：

如果求最小数，那么两层for循环的先后顺序就无所谓了，相关题目如下：

对于背包问题，其实递推公式算是容易的，难是难在遍历顺序上，如果把遍历顺序搞透，才算是真正理解了。